Ohyb elektromagnetického záření na mikroobjektech

Stáhnout text ve formátu doc.

1. Fyzikální základ

K vysvětlení ohybového jevu použijeme Fraunhoferovu teorii, ve které se předpokládá, že dopadající vlna na štěrbinu je rovinná (obr. 1). Ohybové jevy se nazývají Fraunhoferovy a pro potřeby praktika je vysvětleme jen na základě elementárních představ z obr. 1.

Obr. 1:  K teorii Fraunhoferova ohybového jevu na štěrbině.

Obr. 2:  Rozložení intenzity záření prošlého štěrbinou a podmínka pro polohu minim.

Předpokládejme, že rovinná monochromatická a koherentní vlna dopadá na jedinou štěrbinu šířky d = |AC| a ohýbá se o úhel α definující náhodně vybraný směr (viz obr. 1). Jestliže by se vzdálenost |BC| rovnala právě vlnové délce λ, pak úsudkem lehce zjistíme, že součet intenzit elektrického pole od všech paprsků (elmg. záření), které ze štěrbiny vystupují v tomto směru, je nulový, jinými slovy se tyto paprsky navzájem vyruší. Každému paprsku mezi paprsky 1 a 2 odpovídá totiž paprsek z druhé poloviny štěrbiny 2 až 3, který se od něho liší právě o dráhový rozdíl λ/2, takže se s ním interferencí zruší (takovou dvojici představují např. paprsky 1 a 2, přičemž paprsky 1 a 3 jsou limitně blízko ke kraji štěrbiny a jeden z nich nevykompenzovaný díky limitě nehraje roli). Proto, uvážíme-li platnost vztahu |BC| = d·sin α a připustíme-li i jiný nenulový celočíselný násobek vlnové délky λ, dostaneme úvahou podmínku pro polohu minim (3). Exaktním řešením ohybového jevu, které není pro potřeby praktika nutné, pak získal Fraunhofer rozložení intenzity prošlého záření s hlavním maximem a řadou postranních maxim a minim (obr. 2). Tuto intenzitu prošlého záření je možno vyjádřit jako funkci úhlu α

(1)

kde

(2)

Z rovnice (1) vyplývá, že:

1. Poloha minim intenzity (tj. I(α) / I(0) = 0) je ve směrech , kde je splněna podmínka neboli podmínka pro úhly α_min, pro které nastává minimum, je

   (3)

   
   
   
2. Poloha maxim intenzity (tj. I(α) / I(0) = max.) je pak v místech, kde je splněna podmínka neboli podmínka pro úhly α_max, při kterých nastává maximum, je

   (4)

   
   
   
3. Relativní velikost maxim intenzity (tj. I(α) / I(0)) v místech, kde je splněna podmínka (4), je

   (5)

2. Experiment

Jako zdroj monochromatického a koherentního záření použijeme laser s vlnovou délkou λ₁ = (632 ± 10) nm a λ₂ = (532 ± 10) nm. Jeho záření dopadá na štěrbinu. Rozdělení intenzity záření laseru za štěrbinou v ohybovém obrazci je měřeno pomocí polovodičové fotodiody umístěné ve vzdálenosti a = (2152 ± 1) mm od štěrbiny (viz obr. 3) a dále s využitím zesilovačů a systému ISES. K němu je rovněž připojen XY zapisovač, který umožňuje snímání průběhu intenzity ohybového jevu. Schématické uspořádání pokusu je na obr. 3.

Obr. 3:  Uspořádání pokusu ohybu na štěrbině snímaného systémem ISES a přenášeného po Internetu.

Signál z optického modulu je zapojen buď přímo na kanál A jednotky ISES, nebo přes voltmetr se zesílením 10× (kanál B), nebo 100× (kanál C). XY zapisovač je napojen na výstupní kanál E jednotky ISES a zajišťuje posuv fotodiody. Je vhodné sejmout signál hlavního maxima a alespoň dvou dalších postranních maxim. Průběh intenzity ohybového jevu je pak možno využít pro zjištění velikosti mikroobjektu – v našem případě šířky štěrbiny, a to s využitím rovnice (1) nebo ze znalosti poloh minim, případně maxim intenzity světla a rovnic (3), příp. (4). Na obr. 4 je příklad naměřených dat s proloženou funkcí (1) pomocí programu Origin 7.5. Všimněte si rozdílu přesnosti určení velikosti štěrbiny při použití obou metod.

Obr. 4:  Příklad rozložení intenzity světla při ohybovém jevu na štěrbině; byl použit laser s λ1 = 628,10 nm (d = 180 μm), červená křivka je proložení optimalizačním programem (Origin 7.5); výpočtem z poloh maxim byla stanovena velikost štěrbiny d = (170 ± 10) μm, použitím optimalizačního programu d = (168,6 ± 0,4) μm.

3. Zadání a chyba měření

1. Seznamte se s experimentem „Ohyb elektromagnetického záření na mikroobjektech“ (v našem případě se jedná o štěrbinu) na adrese http://kdt-13.karlov.mff.cuni.cz/sterbina.html.
   
   
2. Proveďte detailní měření průběhu rozložení intenzity světla ve vzdálenosti a = (2152 ± 1) mm od štěrbiny. Měření proveďte pro oba zdroje světla (červený laser s vlnovou délkou λ₁ = (632 ± 10) nm a zelený λ₂ = (532 ± 10) nm) a pro obě velikosti štěrbin.
   
   
3. Určete velikost obou štěrbin d. K tomu je možno použít buď poloh minim (rovnice (3)), nebo poloh maxim (rovnice (4)). Pro stanovení příslušných úhlů minim (maxim) je nutno změřit s co největší přesností polohy maxim (minim) y_max,min zjištěné pomocí fotodiody a pak vypočítat příslušné úhly minim (maxim) podle vztahu

   .

   (6)

   Pro přesnější určení velikosti štěrbin je možno využít optimalizaci a proložit měřenými body modelovou závislost (1) (např. pomocí grafických prostředí SigmaPlot, Origin, příp. programu GNUPLOT – http://www.gnuplot.info).
   
   
4. Vyhodnoťte chybu určení velikosti štěrbin.
   
   

   Rozbor chyby

   Určeme chybu velikosti štěrbiny d např. z polohy prvého minima, pro které z rovnice (3) platí

   (7)

   a rovněž

   (8)

   Za předpokladu, že pro malé úhly, se kterými zde pracujeme, platí (v obloukové míře!)

   (9)

   lze psát pro šířku štěrbiny výraz

   (10)

   a pak již jednoduše pro její chybu

   (11)

   Zvažte, která z veličin zatíží chybu výsledku nejvíce.